Τι είναι ένας εκθέτης στην Άλγεβρα;

Στον κόσμο των μαθηματικών, εκθέτες συντομογραφικά μας λένε να πολλαπλασιάσουμε έναν παρόμοιο αριθμό με τον εαυτό του. Θα σας κατευθύνει στον αριθμό των φορών για τη χρήση ενός συγκεκριμένου αριθμού σε οποιοδήποτε πρόβλημα πολλαπλασιασμού. Κατά την επίλυση οποιωνδήποτε αλγεβρικών εξισώσεων, οι εκφράσεις γράφονται σε εκθετική μορφή με τη βοήθεια ενός εκθέτη.

Ας ξεκινήσουμε γράφοντας τα ακόλουθα σε χαρτί:

4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4

Αμέσως μετά το τέταρτο ή το πέμπτο 4, μπορεί να αρχίσετε να βαριέστε να γράψετε την πλήρη έκφραση! Και δεν είσαι ο μόνος. Αντί να γράφουν τις μακριές αριθμητικές συμβολοσειρές, παρόμοια με την τελευταία, οι μελετητές των μαθηματικών αποφάσισαν να δημιουργήσουν τον εκθέτη.

Ενα εκθέτης δεν είναι παρά ένας εύκολος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός παρόμοιου πράγματος από μόνο του, για έναν ορισμένο αριθμό φορών. Επομένως, κοιτάζοντας το παράδειγμα, μπορείτε όλοι να δείτε ότι ο αριθμός 4 πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του 15 φορές!

Σε ολόκληρο το άρθρο, θα συναντήσετε τα ακόλουθα βασικά λεξιλόγια:

• Βάση – Είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται από μόνος του.
• Εκθέτης – Είναι ο αριθμός των φορών που συνεχίζετε να πολλαπλασιάζετε τη βάση.

Επομένως, στο παράδειγμα, ο αριθμός 4 βρίσκεται ως βάση, πολλαπλασιαζόμενος επανειλημμένα, με τον αριθμό 15 να είναι ο εκθέτης. Το παρακάτω άρθρο θα ορίσει την εκθετική μορφή στην Άλγεβρα μαζί με τις επτά διακριτές ιδιότητες ή κανόνες που διέπουν τη χρήση της με τη βοήθεια ορισμένων παραδειγμάτων, που είναι επωφελής για την καλύτερη τεχνογνωσία σας.

Προτεινόμενα– Πώς να μελετήσετε για τις εξετάσεις μαθηματικών και τον άσο;

Μαθηματικός Ορισμός

Ενα εκθέτης είναι ένας αριθμός που υποδεικνύει τον αριθμό των φορών που κάποιος πρέπει να συνεχίσει πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό στον εαυτό του. Όπως, ο πολλαπλασιασμός του 3 με τον εαυτό του 2 φορές είναι 3² ή με απλούστερους όρους σημαίνει 3 * 3 = 9. Άρα, η απάντησή σας θα ήταν, 3² = 9.

Μετά τον πολλαπλασιασμό του αριθμού, πρέπει να γράψετε τον εκθέτη ως «αριθμό υπερθέτη» και είναι γνωστός ως βάση με μαθηματικούς όρους. Επομένως, στο παράδειγμα που αναφέρθηκε παραπάνω, ο αριθμός 2 είναι ο εκθέτης, και το 3 στέκεται ως το βάση.

Τύποι εκθετών

Υπάρχουν τέσσερις τύποι εκθέτη στα μαθηματικά:

1. Θετικοί εκθέτες
2. Αρνητικούς εκθέτες
3. Μηδενικοί εκθέτες
4. Ορθολογικοί εκθέτες

· Θετικοί Εκθέτες και σχετικά Παραδείγματα

Θετικοί εκθέτες είναι εκθέτες που φέρουν θετικούς αριθμούς. Και δεν υπάρχει ποτέ κανένα μοναδικό κόλπο στην εργασία με θετικούς εκφραστές. Απλά πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη βάση στον εαυτό της μαζί με τον αριθμό των φορών που υποδεικνύει ο εκθέτης.

Ακολουθήστε μερικά παραδείγματα θετικών εκθετών για να αποκτήσετε καλύτερη τεχνογνωσία:

· 4⁵= 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024

· 2³= 2 * 2 * 2 = 64

· Αρνητικοί Εκθέτες και σχετικά Παραδείγματα

Αρνητικούς εκθέτες είναι εκθέτες που φέρουν αρνητικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, 2^-4

Μπορείτε να απλοποιήσετε έναν αρνητικό εκθέτη τοποθετώντας τη βάση μαζί με τον εκθέτη στον παρονομαστή ενός κλάσματος, έχοντας ως αριθμητή το 1.

2^-4 = 1 / (2⁴) = 1/16

Αποκτήστε τεχνογνωσία για το πώς λειτουργεί το ίδιο:

• 2⁴ = 16
• 2³ = 8
• 2² = 4
• 2¹ = 2

Καθώς ο εκθέτης μειώνεται σε κάθε βήμα, πρέπει να διαιρέσετε τη λύση με το 2. Το σχέδιο συνεχίζεται, ενώ συνεχίζετε να χαμηλώνετε τον εκθέτη.

· 2⁰ = 1

· 2^-1 = 1/2

· 2^-2 = 1/4 ή (1/2²)

· 2^-3 = 1 / 8 (1 / 2³)

Και, πρέπει να εφαρμόσετε έναν παρόμοιο κανόνα για όλους τους αρνητικούς εκθέτες. Ρίξτε μια ματιά σε μερικά ακόμη παραδείγματα για να μάθετε καλύτερα:

· 3^-4 = 1/3⁴ = 1/81

· Χ^-7= 1 / Χ⁷

· Μηδενικοί Εκθέτες και τα σχετικά Παραδείγματα

Μια έκφραση ‚0‘ καθώς ο εκθέτης ισούται με 1. Δεν έχει ποτέ σημασία για τη βάση. Εάν ο εκθέτης σας είναι 0, τότε η απλοποίηση θα πρέπει να είναι 1. Τώρα, ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά από τα σχετικά παραδείγματα για να λύσουμε καλύτερα τις αλγεβρικές παραστάσεις:

· 25⁰ = 1

· σι⁰ = 1

· Ορθολογικοί Εκθέτες και τα σχετικά Παραδείγματα

ΕΝΑ ορθολογικός εκθέτης είναι ένα κλάσμα σε ένα μορφή εκθέτη. Οπως σε Χ^1/2; το 1/2 είναι α ορθολογικός εκθέτης. Οι ορθολογικοί εκθέτες στέκονται ως ένας διαφορετικός τρόπος γραφής μιας ριζοσπαστικής έκφρασης. Ο επάνω αριθμός του κλάσματος λειτουργεί ως «δύναμη», ενώ ο κάτω αριθμός είναι η «ρίζα».

Επομένως, Χ^1/2 = √Χ

Τώρα, ας δούμε τα σχετικά παραδείγματα ορθολογικών εκθετών:

· 8^2/3= 3√(8²) = 3√64 = 4

· Μ^5/2 = √(Μ⁵)

Εξισώσεις με Εκθέτες και τα σχετικά Παραδείγματα

Κατά την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων που περιλαμβάνουν εκθέτες, πρέπει να ακολουθείτε αυτούς τους συγκεκριμένους κανόνες.

• Με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών που έχουν εκθέτες, θα πρέπει να προσθέσετε τους εκθέτες, όπως (ένα²)(ένα⁵) = ένα⁽²⁺⁵⁾ = ένα⁷
• Ενώ διαιρείτε τους αριθμούς που περιέχουν τους εκθέτες, θα πρέπει να αφαιρέσετε τους εκθέτες, π.χ και⁵/και³= και^(5-3) = και²
• Για να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια άλλη δύναμη, πολλαπλασιάστε τους εκθέτες, παρόμοιους με (Μ³)⁴ = Μ^(3*4) = Μ¹²
• Ο βασικός αριθμός (ή μεταβλητή) παραμένει ο ίδιος με όλους αυτούς τους κανόνες και δεν μπορείτε ποτέ να συλλέξετε τις εκφράσεις με διαφορετικές βάσεις.

Για παράδειγμα, δεν μπορείς ποτέ να απλοποιήσεις Χ² + n⁶, ούτε μπορείτε να απλοποιήσετε το 4²/Μ⁸.

Καθορισμένη εκθετική μορφή

Σε μια αλγεβρική έκφραση, το εκθετική μορφή στέκεται ως μια «έκφραση» που έχει έναν εκθέτη. Και οι εκφράσεις, συμπεριλαμβανομένου ενός εκθέτη, γράφονται πάντα σε εκθετική μορφή. Δείτε τα παρακάτω παραδείγματα:

· Χ³

3 ετών⁴

2³

Μετατροπή σε εκθετική μορφή

Κατά την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων, θα βρείτε συχνά διάφορους τρόπους να εκφράσετε ένα παρόμοιο πράγμα. Η φόρμα που επιλέγετε εξαρτάται από το τι μπορεί να λύσει το πρόβλημα που εργάζεστε. Και είναι πιο εύκολο να λυθεί ή να εξυπηρετηθεί μια λύση με τρόπο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάποιον άλλο. Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα από τα απλά παραδείγματα:

· Δοκιμάστε τη μετατροπή του 8 σε εκθετική μορφή.

8 = 2 * 2 * 2 = 2³

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν την απλή έκφραση στα καλύτερά της, ενώ προσπαθείτε να συνυπολογίσετε μια έκφραση.

Επιπλέον, η μετατροπή παραστάσεων σε εκθετική μορφή μπορεί επίσης να έχει πολλές χρήσεις όταν προσπαθείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους ή να απλοποιήσετε εκφράσεις. Για παράδειγμα:

· Απλοποιήστε τα ακόλουθα:

2x⁴ + x * x * x * x

Εφόσον γνωρίζετε τη γραπτή εκθετική μορφή Χ * Χ * Χ * Χ = Χ⁴, θα μπορείτε να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση σε μια εξίσωση. Και το αποτέλεσμα αυτής της απλοποίησης είναι 2Χ⁴ + Χ⁴. Μπορείτε να απλοποιήσετε περαιτέρω και πάλι, καθώς οι όροι είναι όροι ‚όμοιοι‘, τους οποίους μπορείτε να προσθέσετε μαζί. Και το αποτέλεσμα είναι 3Χ^⁴.

Λογαριθμική Μορφή

ΕΝΑ λογάριθμος είναι ένας εκθέτης σε μια αλγεβρική έκφραση γραμμένη σε εκθετική μορφή. Με το ίδιο, μπορείτε εύκολα να μετατρέψετε την εξίσωση από μια εκθετική μορφή σε μια λογαριθμική μορφή.

Όπως ισχυρίζεται η ιστορία, οι λογάριθμοι, ή κοινώς γνωστοί ως «κούτσουρα», που εισήχθησαν τον 17ο αιώνα, έτυχε να είναι μια πιο απλή μέθοδος για την επίλυση όλων των αλγεβρικών παραστάσεων. Το ίδιο υιοθετήθηκε καλά από τους περισσότερους ερευνητές, μηχανικούς και διάφορους άλλους μελετητές για την αποτελεσματική εκτέλεση των υπολογισμών.

Επομένως, εκφράστε τη λογαριθμική μορφή και την αντίστοιχη εκθετική της μορφή με αυτόν τον τρόπο:

κούτσουρο_σι(x)=y⇔b^και=x,b>0,b≠1 ημερολόγιο_σι(x)=y⇔b^και=x,b>0,b≠1

Συμπληρώνω ένα, σι, και ντο στις κατάλληλες θέσεις τους ή να μετατρέψουν μια έκφραση σε εκθετική μορφή σε αυτή σε λογαριθμική μορφή. Ας δοκιμάσουμε το ίδιο.

· Μετατροπή 3² = 9 προς λογαριθμική μορφή.

Για να λύσετε αυτήν την εξίσωση, πρέπει απλώς να συνδέσετε τους αριθμούς στις αντίστοιχες θέσεις τους, παρόμοια με:

κούτσουρο₃9=2

κούτσουρο_σιa=n⇔a=bⁿ

⇒3²=9→καταγραφή₃9=2

Ο λόγος πίσω από τη μετατροπή μιας μορφής σε άλλη είναι παρόμοιος όπως έχουμε συζητήσει προηγουμένως. Και θα συναντήσετε πολλές ακόμη απλές περιπτώσεις κατά την επίλυση ή τον χειρισμό μιας έκφρασης με βάση τη μορφή της. Η λογαριθμική μορφή είναι πιο εύκολη στη χρήση κατά την επίλυση ενός εκθέτη που υποστηρίζεται από αριθμομηχανές και πίνακες δεδομένων. Απλοποιεί την όλη διαδικασία. Για παράδειγμα:

· Λύστε 10^Χ = 37

Η εξίσωση φαίνεται αδύνατο να λυθεί με αυτή τη μορφή! Όλοι γνωρίζετε ότι 10² = 100, και η απάντηση είναι ένας δεκαδικός αριθμός που βρίσκεται μεταξύ 1 και 2. Ο αριθμός 10 είναι η βάση ή σι σε αυτήν την έκφραση, που αναφέρεται ως «κοινό αρχείο καταγραφής». Για να λύσετε το ίδιο, στο στάδιο των αρχικών, μετατρέψτε την έκφραση σε ανάγνωση log(37) = Χ. Σε αυτό το παράδειγμα, το 10 δεν πρέπει ποτέ να γραφτεί αλλά να εκτιμηθεί. Ακολουθώντας το ίδιο, λύστε για Χ, όπου Χ = 1,57. Έτσι, η απάντηση έρχεται ως 10^1,57 = 37.

Συμπέρασμα

Χαϊδέψτε την πλάτη σας με περηφάνια, με το ποσό που μόλις καλύψετε, ενώ εργάζεστε με εκθέτες! Καταλήξαμε με επιτυχία στην αποκρυπτογράφηση της σωστής σημασίας ενός εκθέτη και των σχετικών τύπων, τους οποίους θα πρέπει να ακολουθείτε κατά την επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης με εκθέτες. Με τη βοήθεια ενός εκθέτη, πρέπει να γράψετε το εκφράσεις άλγεβρας σε εκθετική μορφή.

Ίσως εξακολουθείτε να αμφιβάλλετε για τη σημασία ενός εκθέτη στην Άλγεβρα και θέλετε να διευκρινίσετε το ίδιο με φιλικές εξηγήσεις. Οι έμπειροι και πάντα φιλικοί καθηγητές Μαθηματικών της Cuemath είναι πάντα έτοιμοι να βοηθήσουν τους μαθητές να αποκτήσουν αυτοπεποίθηση με τη βοήθεια των διαδικτυακών τους μαθημάτων. Μπείτε στον σωστό τρόπο εκμεταλλευόμενοι το δοκιμαστικό μάθημα δωρεάν σήμερα και μεταμορφώστε το παιδί σας σε ιδιοφυΐα των Μαθηματικών!